Спектр показателей степени в автомодельных переменных: При отыскании показателей степени времени в выражении автомодельных переменных для автомодельных решений второго рода или, что то же, скоростей распространения для решений типа бегущей волны мы пришли к своеобразным задачам на собственные значения для нелинейных операторов.

Эти задачи по своей природе близки к классическим задачам на собственные значения для линейных дифференциальных операторов, и для них также встает вопрос о структуре спектра - множества собственных значений. Вообще говоря, при произвольном, нетривиального решения этой краевой задачи не существует.

Имеются, однако, исключительные значения собственные значения, при которых нетривиальное решение краевой задачи существует. Эти собственные значения образуют множество той или иной структуры: дискретный, непрерывный, смешанный и т. д. в зависимости от свойств функции. Можно взглянуть на все это несколько иначе. Уравнение и граничные условия инвариантны относительно двухпараметрической группы преобразований.

Это означает, что, подставляя соотношения и, мы снова получаем ту же задачу в переменных при произвольных параметрах группы - постоянных а и р. Разделяя переменные, мы на самом деле ищем решения, инвариантные относительно некоторой однопараметрической подгруппы этой группы. Подгруппа соответствует следующей связи между параметрами а и Р: а инвариантные решения имеют вид.

Собственные значения, определяющие подгруппу, находятся из условия существования инвариантного решения в целом, т. е. решения, удовлетворяющего условиям. Вполне аналогичная ситуация имеет место и для решений типа стационарных бегущих волн. В самом деле, чтобы такое решение существовало, уравнения и граничные условия должны быть инвариантны относительно двухпараметрической группы преобразований сдвига.