Анализ размерностей позволяет в определенных случаях получить при помощи вполне стандартного приема точные частные решения сложных задач математической физики, приводящих к начальным, краевым или смешанным задачам для уравнений или систем уравнений в частных производных. Эти решения выражаются через решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Представление об общем методе применения анализа размерностей к получению точных частных решений можно получить на примере явлений, возникающих на начальных стадиях ядерного взрыва в газе - тепловой и газодинамической. Мы изложим здесь решения соответствующих предельно схематизированных задач, хотя эти решения хорошо известны и не раз излагались, и сделаем это по двум причинам.

Во-первых, на этих решениях хорошо демонстрируется применение метода анализа размерности. Во-вторых, и это наиболее важно, мы явно укажем здесь на некоторые, обычно не оговариваемые, а на самом деле очень существенные предположения, которые делаются при формулировке соответствующих задач.

Однако, как мы увидим дальше, небольшое усложнение рассматриваемых задач, казалось бы, на первый взгляд, оставляющее соображения анализа размерности неизменными, сделает эти предположения неприменимыми, и мы столкнемся с парадоксом, разрешение которого приведет нас к автомодельным решениям нового типа. Итак, на самой начальной стадии ядерного взрыва - тепловой - непосредственно следующей за выделением энергии, газ еще неподвижен. В неподвижном газе распространяются сильные тепловые волны.

Перенос энергии излучением на этой стадии происходит со скоростью, во много раз превышающей скорость звука; именно поэтому гидродинамическим перемещением вещества на этой стадии можно пренебречь. К этому добавляется также требование непрерывности функции Ф и производной, вытекающее из условий непрерывности в любой момент времени температуры, пропорциональной Ф, и потока тепла, пропорционального.