Предельные автомодельные решения: Интересный пример использования более общих групповых соображений для установления автомодельности доставляют так называемые предельные автомодельные решения, т. е. решения вида, в которых и пространственный масштаб, и масштаб определяемой величины зависят от времени экспоненциально. Рассмотрим эти решения для уравнения нелинейной теплопроводности. Соответствующая вырожденная задача рассматривается в полубесконечной области.

Заметим теперь, что сформулированная задача инвариантна также относительно группы преобразований сдвига по времени, так что если и есть решение задачи, то тоже представляет собой решение той же задачи при любом действительном т. В самом деле, подставляя в мы получим для определения и в функции переменных, ту же задачу, только вместо будет фигурировать. Название этих решений - предельные автомодельные - объясняется следующим образом.

Уравнение имеет семейство автомодельных решений обычного степенного вида, удовлетворяющих условиям. Как нетрудно показать, используя стандартную процедуру анализа размерностей, эти решения представляются в виде введен в автомодельную переменную для удобства), где функция является решением уравнения
при условиях, непрерывным, имеющим непрерывную производную. В действительности это решение
тождественно равно нулю при больших некоторого.

Возьмем теперь, где a- постоянная размерности обратного времени и устремим а к бесконечности, сохраняя постоянным и равным. Как нетрудно видеть, степени при этом стремятся к экспонентам и решение стремится к решению как к своему пределу. Решения вида появлялись в различных задачах механики начиная с работы С. Гольдштейна, посвященной теории пограничного слоя. Проведенный выше групповой анализ этих решений и выяснение их предельного характера были выполнены в работе.

Вращение жидкости в цилиндрическом сосуде: Показательный пример автомодельного решения, для установления автомодельности которого соображений анализа размерности недостаточно, дает замечательная задача Соболева о малых возмущенных движениях при вращении жидкости в цилиндрическом сосуде. Таким образом, первое фундаментальное решение уравнения Соболева действительно оказывается автомодельным. Подстановка в уравнение и начальные условия легко позволяет определить выражение для р через бесселевы функции.