Полная и неполная автомодельность: В задачах о распространении сильных тепловых и сильных взрывных волн и в задаче о мгновенном точечном тепловом источнике ситуация оказалась относительно простой. Для этих задач существует некоторая предельно схематизированная вырожденная постановка (выделение энергии в точке, равенство нулю начальных температуры и давления).

Оказалось, что, рассматривая эту постановку задачи и стандартным образом применяя к ней процедуру анализа размерностей, можно обнаружить автомодельность решения, выяснить строение автомодельных переменных и благодаря наличию некоторого интеграла получить решение в конечном виде:

Более глубокое рассмотрение показывает, однако, что эта простота иллюзорна, и, например, делая предположение о точечном выделении энергии, мы, что называется, ходили по краю пропасти. Действительно, слегка, на первый взгляд, изменив постановки задач и притом так, что, казалось бы, все те же соображения подобия должны сохранить силу, мы пришли к противоречию. Как оказалось, в модифицированных задачах нужных нам решений просто не существует.

Более детальный анализ показал, что при попытке поиска решений модифицированных задач тем же стандартным способом исходя из формулировки вырожденной задачи оказалась неправильной сама постановка вопроса. На самом деле нам были нужны не точные решения упрощенно сформулированных вырожденных задач, соответствующих мгновенному отбору в точке конечной массы жидкости или мгновенному выделению в точке конечной порции энергии.

Нас интересуют асимптотики решений невырожденных задач при больших временах. Мы применили анализ размерности к невырожденным задачам, существование и единственность решений которых либо строго доказаны, либо не вызывали сомнений; невырожденные задачи, естественно, перестали быть автомодельными.

Предельный переход при стремлении к нулю дополнительного параметра, делавшего задачи неавтомодельными, оказался в модифицированных задачах нерегулярным: в одном случае предел получился равным нулю или бесконечности в зависимости от условий задачи, в другом случае выяснилось, что его просто не существует.