Автомодельные решения первого и второго рода: Рассмотрим теперь некоторую задачу математической физики, описывающую то или иное явление и имеющую единственное решение. Пусть величины а представляют собой в этой задаче неизвестные, величины независимые переменные и параметры, входящие в уравнения, граничные, начальные и другие условия, выделяющие единственное решение.

Автомодельные решения представляют собой всегда решения вырожденных задач, которые получаются, если некоторые параметры и соответствующие им безразмерные параметры принимают нулевые или бесконечные значения. Они представляют собой одновременно точные решения вырожденных задач и асимптотические (вообще говоря, промежуточно-асимптотические) представления решений более широких классов невырожденных неавтомодельных задач при стремлении указанных параметров к нулю или бесконечности.

В зависимости от того, какой из первых двух случаев альтернативы имеет место для данной автомодельности, автомодельные решения делятся на решения первого и второго рода. Автомодельные решения первого рода получаются, когда предельный переход от неавтомодельной невырожденной задачи к автомодельной вырожденной задаче регулярен в том смысле, что имеет место полная автомодельность по параметрам подобия, делавшим задачу невырожденной и ее решение неавтомодельным.

Выражения для всех автомодельных переменных, как зависимых, так и независимых, могут быть при этом получены применением анализа размерности. Автомодельные решения второго рода получаются в случае, когда вырождение исходной задачи нерегулярно, но имеет место неполная автомодельность по указанным выше параметрам подобия.

Выражения для автомодельных переменных при этом, вообще говоря, не могут быть получены из соображений размерности. Итак, если для данной постановки задачи математической физики в целом (начальной, краевой, смешанной и т. п.) существуют автомодельные решения со степенными автомодельными переменными, они получаются из неавтомодельных решений предельным переходом при стремлении некоторого параметра, делающего решение неавтомодельным, к нулю или бесконечности.